瞬間、don't forget me は自然で forget me not は不自然って感じました。そんな言い方するのかなあと思いアメリカ人に聞いたところ、

non dimenticarmi は僕が思った通りそのあと何か続く感じです。

ちょうど日本語なら 「私の事、、、、ね、、、、わすれ、、、」みたいな感じで何かを暗示させてると思いました。

そのアメリカ人によるとその文がまだ続く感じで、言わない場合は暗示的でちょっと詩的な感じだそうです。

こういった質問は日本人に聞くより、英語人に直接聞いた方が正確な答えがでると思いますね。